6 Условная вероятность и вероятностные диаграммы
Условная вероятность
Рассмотрим пример. Допустим, у нас 12 студентов. Из них пятеро социологов, четверо живут в общежитии, а трое одновременно и живут в общежитии, и учатся на социологов. Выберем \(1\) студента случайным образом, какова вероятность, что он социолог? \(P(\textrm{Социолог}) = 5/12 \approx 0.42\).
Теперь, вам сообщают дополнительную информацию - этот случайно выбранный студент также живет в общежитии. Как это условие изменит вероятность того, что этот студент социолог?
Можно заметить, что теперь мы рассматриваем не все 12 студентов, а только тех четверых, которые отвечают дополнительному условию - живут в общежитии. Из них трое являются социологами, соответственно вероятность \(P(\textrm{Социолог при условии что живет в общежитии}) = 3/4\).
Мы только что познакомились с условной вероятностью - вероятностью события, при условии, что произошло некое другое событие. Условную вероятность принято обозначать следующим образом,
\[P(A|B) = \textrm{Вероятность A, при условии, что B произошло}\]
А формальное ее определение выглядит так,
\[P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}\]
То есть условная вероятность события \(А\) при условии \(B\) равна отношению совместной вероятности событий \(A\) и \(B\) к вероятности события \(B\). Заметим, что эта формула является определением, поэтому доказывать ее не надо - мы просто вводим новый объект.
Давайте проверим разумность такого определения на немного абсурдном примере. Какова вероятность, что студент из примера выше является социологом, если он социолог? Очевидно, вероятность должна быть равна 1 - если вы социолог, то вы социолог и с этим ничего не поделаешь. Посмотрим, как это формально выходит из формулы.
Событие и условие у нас одно и то же, поэтому формула превращается в \(P(B|B) = \frac{P(B \cap B)}{P(B)}\). Можно заметить, что \(P(B \cap B) = P(B)\), что ведет нас к \(P(B|B) = \frac{P(B)}{P(B)}=1\). Формула сработала! Более того, благодаря математикам мы знаем, что это определение будет работать и во многих других нетривиальных ситуациях.
Но главное, что следует помнить об условных вероятностях - это то, что они принципиально ничем не отличаются от безусловных - все что применимо к последним, применимо и к первым. По сути, вся разница между условной и безусловной вероятностью - это пространство возможных исходов. В безусловной вероятности - мы как бы живем в базовой, ничем не ограниченной реальности. В условной вероятности - мы имеем дело с неким событием, которое уже произошло и поэтому вынуждены заново пересчитать вероятности.
Давайте разберем несколько примеров, чтобы лучше осознать идею и привыкнуть к обозначениям.
Упражнение: Два броска 4-х гранного кубика. Определим события, \(\mathbf{B}: min(d_1,d_2) = 2\), \(\mathbf{M_1}: max(d_1,d_2) = 2\), \(\mathbf{M_2}: max(d_1,d_2) = 1\). Найдем следующие вероятности,
\(P(M_1|B) = ?\)
\(P(M_2|B) = ?\)
Этот пример может показаться слишком уж заумным. Что за \(max(d_1, d_2)\)? На самом деле за этим скрывается простая идея: мы бросаем два кубика, следовательно у нас два числа. Одно из этих чисел может быть больше, чем другое, функция \(max(*)\) возвращает нам это число. Если же числа одинаковы, то вернуть можно любое из них, разницы нет. Функция \(min\) работает аналогично, но возвращает минимальное число. Например,
\(max(1, 2) = 2\); \(min(1, 2) = 1\)
\(max(4, 3) = 4\); \(min(4, 3) = 3\)
\(max(3,3) = 3\); \(min(3, 3) = 3\)
Теперь давайте посчитаем вероятности. Чисто технически
\[P(M_1|B) = \frac{P(M_1 \cap B)}{P(B)}\]
или, словами: вероятность, что Максимум равен 2 И Минимум равен 2, деленная на вероятность, что Минимум равен 2.
Начинаем со знаменателя — считаем число исходов, где Минимум равен 2, и делим на общее число исходов:
\[P(B) = \frac{|\{(1, 2); (2, 1); (2, 2)\}|}{16} =\frac{3}{16}\]
Аналогично числитель — число исходов, где Максимум и Минимум одновременно равны 2, деленное на общее число исходов:
\[P(M_1 \cap B) = \frac{|\{(2, 2)\}|}{16} = \frac{1}{16}\]
Соответственно,
\(P(M_1|B) = \frac{P(M_1 \cap B)}{P(B)} = \frac{1}{3}\)
Аналогичным образом можно посчитать \(P(M_2|B) = 0\), что и неудивительно — нет такого исхода, где бы минимум был 2, а максимум 1.
\(P(M_2|B) = \frac{P(M_2 \cap B)}{P(B)} = \frac{0}{3/16} = 0\)
Вероятностная диаграмма
Условная вероятность выводит нас к очень важной формуле. Мы подойдем к ней рассматривая и пошагово усложняя следующий пример.
Допустим из статистики мы знаем, что среди женщин репродуктивного возраста 1% беременны. То есть вероятность случайно выбранной женщины быть беременной равна 1% - обозначим это как событие \(А\), соответственно \(P(A) = 0.01\).
У нас есть тест на беременность, который может быть положительным в двух случаях, когда женщина действительно беременна (истинно положительный) и когда она на самом деле не беременна (ложно положительный). Мы могли бы представить взаимосвязь этих двух событий, беременности (А) и положительного теста (B), в виде диаграммы.
Числа в первом ветвлении обозначают вероятности быть беременной, без каких-либо условий. А числа во втором ветвлении уже являются условными вероятностями. Вы можете представить, что ветви диаграммы соответствуют возможным сценариям. Сначала мы решаем, беременна ли женщина в действительности, а потом смотрим, какова вероятность положительного теста при этом сценарии.
То есть мы могли бы записать аналогичную информацию так,
- \(P(B|A) = 0.98\), \(P(B|A^c) = 0.05\)
Совместная вероятность событий
В формуле условной вероятности легко заметить, что если мы перенесем знаменатель на другую сторону, у нас получится
\[P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} <=> P(A \cap B) = P(B)*P(A|B)\]
Словами: вероятность, что события \(А\) и \(B\) произошли одновременно, равна вероятности события \(B\), помноженной на вероятность события \(А\) при условии, что \(B\) произошло. Поскольку нет принципиальной разницы, что принять за событие, а что за условие, верно и наоборот:
\[P(B|A) = \frac{P(A\cap B)}{P(A)} <=> P(A\cap B) = P(A)*P(B|A)\]
Для нашего примера мы могли бы рассчитать вероятность, что случайно взятая женщина будет одновременно беременной И ее тест будет положительным.
\(P(A \cap B) = P(A)P(B|A) = 0.01*0.98 = 0.0098\)